গোলক অধ্যায় দশম শ্রেণীর জন্য ( for class 10)

 1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধান :  ধরিলাম ,গোলোকের ব্যাসর্ধ (r) = 10.5 সে.মি.

সুতরাং , প্রদত্ত গোলোকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

            =  4πr2

            = 4×(22/7)×10.5 × 10.5 বর্গ সে.মি.

            = 1386 বর্গ সে.মি.                     ( উত্তর )

2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান : প্রদত্ত চামড়ার বলের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল

          = (431.20/17.50)  বর্গ সে.মি.

          = 4312/175 বর্গ সে.মি.

   অতএব ,   4πr2 = 4312/175

              বা , r2 = (4312/175)÷ 4π

              বা, r2 = (4312×7/175×4×22)

              বা, r2 = 49/25

     অতএব ,  r = 7/5  = 1.4 সে.মি.

সুতরাং , চামড়ার বলটির ব্যাস = 2r সে.মি.= 2.8 সে.মি.

4. স্কুলে সট পার্ট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে হিসাব করে লিখি।

সমাধান : প্রদত্ত বলটির ব্যাসার্ধ  ( r) =7/2 সে.মি.

বলটিতে যে পরিমান লোহা আছে তার পরিমান হলো

= (4/3)πr3 ঘন সে.মি.

= (4/3) ×(22/7)×(7/2)×(7/2)×(7/2) ঘন সে.মি.

= (11×7×7)/3 ঘন সে.মি.

= 539 /3   ঘন সে.মি.

4. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।

সমাধান : নিরেট গোলকটির আয়তন যতো ততপরিমান জল অপসারিত করবে।

নিরেট গোলক টির ব্যাসার্ধ  ( r) =28/2 সে.মি.= 14 সে.মি.

নিরেট গোলকটির আয়তন =  (4/3)πr3 ঘন সে.মি.

         = (4/3)×(22/7)×(14)×(14)×(14) ঘন সে.মি.

         = (88×2×196)/3 ঘন সে.মি.

         = 34496/3 ঘন সে.মি.           (উত্তর)

         

5. কোনো গোলকাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান : 

7 সেমি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলাকার বেলুনের ক্ষেত্রফল=4πr2 

= 4 × (22/7)×7×7 

=  4 × 22×7

= 616 বর্গ সে.মি. 

21সেমি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলাকার বেলুনের ক্ষেত্রফল=4πr2

= 4 × (22/7)×21×21

=  4 × 22×21× 3

= 5544 বর্গ সেমি.

7 সেমি ও 21সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলাকার বেলুনের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 616 : 5544 = 1 : 9                                                                                     .......      (উত্তর)

6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে 127(2/7)       [ একশো সাতাশ পূর্ণ দুইয়ের সাত ]বর্গ সেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান : 

বাটিটির মুখের ব্যাসার্ধ  = r সেমি. (ধরিলাম)

প্রশ্নানুযায়ী , 

         2πr2 = 127(2/7)

     বা, r2 = (891/7)× (7/44) = 81/4

     বা, r = 9/2 সেমি. 

 অতএব , বাটিটির মুখের ব্যাস  = 2r = 9 সেমি. 

                            .........................(উত্তর)

7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি.। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

সমাধান : 

নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r)= 2.1 সেমি.

গোলোকটিতে লোহা আছে 

= (4/3)πr3   ঘন সে.মি.

= (4/3)×(22/7)×2.1×2.1×2.1 ঘন সে.মি.

= 38.808 ঘন সে.মি.   

লোহার গোলোকের বক্রোতলের ক্ষেত্রফল

= 4π×2.1×2.1 বর্গ সেমি.

= 55.44 বর্গ সেমি .

8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান : 

ধরিলাম , x টি নিরেট গোলক তৈরী করা যাবে।

7 সেমি ব্যসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলোকের আয়তন

= (4/3)π(7)3   ঘন সে.মি.

3.5 সেমি ব্যসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলোকের আয়তন

= (4/3)π(3.5)3   ঘন সে.মি.

শর্তানসারে ,

      x × (4/3)π(3.5)3=  (4/3)π(7)3 

বা,   x × 3.5×3.5×3.5 =  7×7×7

বা,   x = (7×7×7)/(3.5×3.5×3.5)

           = 8 টি           .................. (উত্তর)

9. 3 সেমি  , 4 সেমি ও 5 সে.মি.  ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি। 

সমাধান : 

  3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলোকের আয়তন

                                     = 4π× (3)3 ঘন সেমি.

  4 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলোকের আয়তন

                                     = 4π× (4)3 ঘন সেমি.

  5 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলোকের আয়তন

                                     = 4π× (5)3 ঘন সেমি.

ধরি , বড়োগোলকটির ব্যাসার্ধ হবে = R সেমি.

   R সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলোকের আয়তন

                                     = 4π× (R)3 ঘন সেমি.

শর্তানুসারে , 

4π× (R)3 =4π× (3)3 + 4π× (4)3+4π×(5)3 

বা, R3 = 27 +64+125= 216

বা, R = 6 সেমি. 

অতএব , বড়ো গোলোকটির ব্যাসার্ধ হবে 6 সে.মি. ।

10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধান :

অর্ধগোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল= 2πr2 বর্গ ডিসিমি.

(যেখানে ,r = 42/2 =21 ডিসিমি.)      = 2(22/7)×21×21

                                                          = 2272 বর্গ ডিসিমি.

1 বর্গ মিটার = 100 বর্গ ডিসিমি. 

অতএব , অর্ধ গোলক টি রঙ করতে খরচ হবে

=( 2272×35)÷ 100 টাকা

= 970.20 টাকা   ...............(উত্তর)

11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি. এবং 17.5 সেমি।গোলকটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি। 

সমাধান : 21 সেমি ব্যাসবিশিষ্ট গোলোকে ধাতুর পরিমান

= 4πr2   বর্গ সেমি.

= 4π(21/2)2 বর্গ সেমি.

17.5 সেমি ব্যাসবিশিষ্ট গোলোকে ধাতুর পরিমান

= 4πr2   বর্গ সেমি.

= 4π(17.5/2)2 বর্গ সেমি.

সুতরাং গোলোক দুটিতে ধাতুর পরিমানের অনুপাত 

= 4π(21/2)2  : 4π(17.5/2)2 

= (21/2)2 : (17.5/2)2

=( 21×21) : (17.5× 17.5)

= 36 : 25 .....................(উত্তর) 

12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট নতুন গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান : ধরিলাম ,ধাতব গোলোকটির ব্যাসার্ধ= R একক

ধাতব গোলোকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল =4πR2 বর্গএকক

এবং ধাতব গোলোকটির আয়তন = (4/3)πR3 ঘন একক

নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক 

নতুন গোলোকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল =4πr2  বর্গএকক

এবং ধাতব গোলোকটির আয়তন = (4/3)πr3 ঘন একক

প্রশ্নানুযায়ী, 

             4πr2  = (1/2)× 4πR2

বা , r2 = (R2)/2

বা,   r  = R/√2 ...............(1)

কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট নতুন গোলকের আয়তনের অনুপাত 

= 4/3 π (R 3

13. 14 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

সমাধান : 14 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলোকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ সে.মি.

                = 4 × (22/7) ×14×14 বর্গ সে.মি.

                = 88× 28 বর্গ সে.মি.

                = 2464 বর্গ সে.মি.

 0.7 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট  দুটি  গোলোকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2×πr2 বর্গ সে.মি.

                = 2× (22/7) × 0.7 × 0.7 বর্গ সে.মি.

                = 44× 0.07 বর্গ সে.মি.

                = 3.08 বর্গ সে.মি.

ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল 

= (2464 - 3.08) বর্গ সে.মি.

= 2460.92 বর্গ সে.মি.  ...............( উত্তর)

14. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি গোলক তৈরী করে লিখি।

সমাধান : 

ধরিলাম , x টি 1 সেমি. ব্যসার্ধের গোলক তৈরী করা যাবে।

8 সেমি ব্যসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলোকের আয়তন

= (4/3)π(8)3   ঘন সে.মি. 

1 সেমি ব্যসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলোকের আয়তন

= (4/3)π(1)3   ঘন সে.মি.

শর্তানসারে ,

      x × (4/3)π(1)3=  (4/3)π(8)3 

বা,   x × 1×1×1 =  8×8×8

বা,   x = (8×8×8)

           = 512 টি       .................. (উত্তর)

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.Q)

(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধান : 

(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি.। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধান : 

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

সমাধান : 

(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে,  S^2/V^3 - এর মান কত তা লিখি।  ( π -এর মান না বসিয়ে  )

সমাধান : 

(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি।

সমাধান : 

                *********** END ***********