Chapter -3 : বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য এর সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন ( SAQ) for class 10
(1) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
সমাধান :
প্রদত্ত তথ্যানুযায়ী,
AP = AQ = 10 সেমি
এবং AB হলো বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা,
AB = 12 সেমি।
আমরা জানি, দুটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা ও বৃত্ত দুটির কেন্দ্র সংযোগকারী সরলরেখাংশ পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
.: OP = OQ এবং OA = OB = 6 সেমি।
∆OAQ-এর ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের সূত্র থেকে পাই--
অতএব OQ = √(AQ ^2 – OA ^2) = √(100 – 36)= √64 = 8 সেমি।
অতএব ,বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = (৪ + ৪ )সে.মি.
= 16 সে.মি.।
(2) 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে AB এবং AC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র ABC ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। AB = AC = 6 সেমি. হলে, BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান : প্রদত্ত , AB =AC = 6 সে.মি.
এবং OB = OC = OA = 5 সে.মি.
( একই বৃত্তের ব্যসার্ধ)
যেহেতু , ABOC একটি কাইট , অতএব , OA এবং BC পরস্পর লম্ব অর্থাৎ
OA লম্ব BC
-> OD লম্ব BC
অতএব , O কেন্দ্রীয় বৃত্তে BC এর উপর OD লম্ব হলে , অবশ্যই BD=CD হবে ।
এখন , সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ∆ AOB এর ক্ষেত্রফল
= (1/2)× AB× √(OA2 - AB2/4)
= (1/2)× 6 × √(25-9)
= (1/2)× 6× 4
= 12 সে.মি. ।
অতএব , 1/2 × OA × BD =12
বা , 5× BD = 12 ×2
বা, BD = 24/5=4.8 সে.মি. ।
অতএব ,
BC = 2× BD = 2 × 4.8 সে.মি. = 9.6 সে.মি. ।
অতএব , BC জ্যা এর দৈর্ঘ্য 9.6 সে.মি. ।
(3) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। কোন AOB = 60° এবং CD = 6 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।
সমাধান : প্রদত্ত , AB = CD= 6 সে.মি.। (প্রদত্ত)
যেহেতু , <AOB = 60 ডিগ্রী
এবং OA = OB (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ )
=> <OAB = <OBA = (180 -<AOB)/2 = (180-60)/2
=120/2 = 60 ডিগ্রী
অতএব , ∆ AOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ ।
সুতরাং , OA = OB =AB = 6 সে.মি.।
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. । (উত্তর)
(4) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ভিতর P যে-কোনো একটি বিন্দু। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং OP = 3 সেমি. হলে, P বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম তা নির্ণয় করি।
সমাধান :
প্রদত্ত প্রশ্নে P বিন্দুগামী ন্যুনতম দৈর্ঘ্যের জ্যা এর কথা বলা হয়েছে , সুতরাং নির্ণেয় জ্যা টি অবশ্যই OP এর অপর লম্ব হবে।
চিত্রানুযায়ী , OA = 5সে.মি.।
OP = 3 সে.মি. ।
অতএব , AP = √( OA2 - OP2)
= √( 25 - 9)=√(16)= 4 সে.মি.।
অতএব ,নির্ণেয় জ্যা এর দৈর্ঘ্য = AB= 2 × AP = 2×4
= 8 সে.মি.
(5) P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ-এর সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্তদুটিকে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। PQ = 5 সেমি. হলে, CD-এর দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।
সমাধান : আমরা জানি ,
CE= AE
সুতরাং , AC =AE+CE=2 AE
আবার, AF = FD
সুতরাং , AD = AF+FD= 2AF
অতএব , CD= AC+AD= 2 AE +2 AF= 2 × EF
যেহেতু PQ ও CD পরস্পর সমান্তরাল এবং EF ,CD এর অংশ ।সুতরাং , EF || CD
আবার , PE ও QF ,CD এর অপর লম্ব ।(অঙ্কনানুসারে)
সুতরাং , PQFE একটি আয়তক্ষেত্র ।
অতএব , EF=PQ =5 সে.মি.। (যেহেতু PQ=5সে.মি.)
অতএব , CD =2 ×EF= 2×5 = 10 সে.মি. । ........ ( উত্তর)
******* ******* ******* *******
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন