বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (for class 10)

1. আনোয়ারদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার নীচের অংশ লক্ষ বৃত্তাকার চোঙ আকৃতির এবং উপরের অংশ শঙ্কু  আকৃতির। এদের ভূমিতলের গ্যাসের দেখা 20 দেখি, চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং  শঙ্কু আকৃতি আশের উচ্চতা 42 সেমি ঘন সেমি লোকার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তরে ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিপি।

সমাধান : 

  চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ = 20/2 সেমি = 10 সেমি

এবং উচ্চতা = 2.8 মিটার = 280 সেমি 

আবার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ সেমি = 20/2 সেমি.= 10 সেমি

এবং উচ্চতা = 42 সেমি : 

চোঙের আয়তন= π× (10) 2 x 280 ঘনসেমি.

=(22 /7) x 10 x 10 x 280 ঘনসেমি = 88000 ঘনসেমি

এবং শঙ্কুর আয়তন = (1/3) π x (10)2 x 42 ঘনসেমি

= (1/3)×(22/7) x 100 × 42 ঘনসেমি = 4400 ঘনসেমি .

লোহার স্তম্ভটির মোট আয়তন =(88000 + 4400) ঘনসেমি

= 92400 ঘনসেমি.

আবার 1 ঘনসেমি লোহার ওজন 7.5 গ্রাম .

সুতরাং ,লোহার স্তম্ভটির মোট ওজন =(92400 x 7.5)গ্রাম = 693000 গ্রাম = 693 কিগ্রা 

                                                         (উত্তর)

2 . একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি এবং 25 সেমি। শঙ্কুটির সমান আয়তনবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙটির উচ্চতা 15 সেমি হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান : 

মনে করি, চোঙের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং উচ্চতা = 15 সেমি চোঙের আয়তন = π ×r×r ×15 ঘনসেমি = 15 ঘনসেমি আবার শঙ্কুর উচ্চতা = 20 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা= 25 সেমি.

শঙ্কুর ব্যাসার্ধ =√(25)2 -(20)2=√(625 - 400) সেমি.

= √(225) সেমি. = 15 সে.মি.

অতএব ,  শঙ্কুর আয়তন = (1/3)π ×15×15×20 ঘনসেমি.

প্রশ্নানুযায়ী, 

(1/3)π ×15×15×20 = 15π r 2

বা, r2 = 100 

বা,    r  = 10 সেমি.

অতএব ,   চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 10 সেমি এবং ব্যাস 20 সেমি. ।

3. 24 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পারে কিছু জল আছে। 6 সেমি  দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি উচ্চতাবিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো এই জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি। 

সমাধান : 

| চোঙাকৃতি পাত্রের ব্যাস = 24 সেমি

অতএব , ব্যাসার্ধ = 24/2 সেমি = 12 সেমি.

 মনে করি, পাত্রে জলের উচ্চতা h সেমি বৃদ্ধি পাবে ।

অতএব , চোঙাকৃতি পাত্রে জলের পরিমাণ 

= π × (12) 2 × h ঘনসেমি.

 আবার শঙ্কুর ভূমির ব্যাস = 6 সেমি

অতএব,

ব্যাসার্ধ =6/2 সেমি = 3 সেমি এবং উচ্চতা = 4 সেমি .

.: 60টি শঙ্কর আয়তন = 60×(1/3)×π× (3)2×4 ঘনসেমি.

প্রশ্নানুযায়ী, 60 × (1/3)× π×3 ×3 × 4 = π ×(12)2×h 

বা, h = (60×π×12)/(π ×12×12) = 5 সে.মি.

অতএব , পাত্রে জলের উচ্চতা 5 সে.মি. বৃদ্ধি পাবে ।

4. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান : 

মনে করি, নিরেট শঙ্কু এবং নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ r একব এবং উচ্চতা h একক ।

তাহলে শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা = √ (h2+ r2)একক ।

অতএব ,

শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = π ×r×√ (h2+ r2) বর্গ একক এবং

 চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গএকক  প্রশ্নানুসারে,

 [π ×r×√ (h2+ r2)] / 2πrh =5/8

বা, √ (h2+ r2) /h = 5/4

বা,  (h2+ r2) /h2 = 25/16

বা, r2/h2 = (25/16) - 1 = 9/16

বা, r/h = 3/4

সুতরাং , r:h = 3:4

অতএব , ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতার অনুপাত 3 : 4।

5. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে। 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে দেখি।

সমাধান : 

লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = ৪ সেমি .

 গোলকের আয়তন = (4/3)π×(8)3 ঘনসেমি 

 আবার নিরেট গুলির ব্যাসার্ধ = 1/2 সেমি.

অতএব , গুলির আয়তন = (4/3)π×(1/2)3 ঘনসেমি .

অতএব , 

মোট গুলির সংখ্যা = [(4/3)π×(8)3 ]/[(4/3)π×(1/2)3]

   = (512 ×8 ) টি  = 4096 টি 

6. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দান্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি.। দণ্ডটি গলিয়ে ৪ সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধান : 

 লম্ব বৃত্তাকার লোহার দণ্ডের ব্যাসার্ধ 32 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি.।

 লোহার দণ্ডের আয়তন = π × (32)2 × 35 ঘনসেমি.

 শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = ৪ সেমি এবং উচ্চতা = 28 সেমি .

 আয়তন =(1/3)π  (8)2 ×28 ঘনসেমি.

অতএব ,

মোট শঙ্কুর সংখ্যা =[π ×(32)2 × 35 ]/[(1/3)π×(8)2×28]

= 60টি ..............(উত্তর)

7. 4.2 ডেসিমি, দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি।

সমাধান : 

 ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা যাবে যদি শঙ্কুটির ব্যাস এবং উচ্চতা ঘনকের ধারের সমান হয়।

এখন ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য 4.2 ডেসিমি . 

অতএব , শঙ্কুর ব্যাস = 4.2 ডেসিমি. 

ব্যাসার্ধ = 4.2/2 ডেসিমি  = 2.1 ডেসিমি.

এবং উচ্চতা = 4.2 ডেসিমি .

অতএব , 

শঙ্কুর আয়তন =(1/3) × (2.1)2 × 4.2 ঘনডেসিমি.

 =19.404 ঘনডেসিমি = 19404 ঘনসেমি. 

৪. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফলও সমান হলে, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

সমাধান : 

মনে করি, গোলক ও চোঙের ব্যাসার্ধ r একক এবং চোঙের উচ্চতা h একক

গোলকের আয়তন =(4/3)πr3  ঘনএকক এবং 

চোঙের আয়তন = πr2h  ঘনএকক

প্রশ্নানুসারে,

( 4/3)πr3  = πr2h 

বা, (4/3)r = h

বা, r/h = 3/4

সুতরাং , r : h = 3 :4

অতএব , চোঙের ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতার অনুপাত 3 : 4।

9 . 6.6 ডেসিমি. দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু একটি তামার নিরেট আয়তঘনাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘন ডেসিমি, ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি।

সমাধান : 

নিরেট আয়তঘনকের দৈর্ঘ্য = 6.6 ডিসিমি.

প্রশস্ত = 4.2 ডেসিমি, পুরু = 1.4 ডেসিমি.

অতএব , আয়তঘনের আয়তন = (6.6 ×4.2 ×1.4) ঘনডেসিমি.

নিরেট আয়তঘন গলিয়ে কিছু নিরেট গোলক তৈরি করা হল .

অতএব ,

গোলকের আয়তন = (4/3)π (2.1/2)3 ঘনডেসিমি.

                             = 4.851 ঘন ডিসিমি.

অতএব , 

 মোট গোলকের সংখ্যা 

                        (6.6 × 4.2 ×1.4)

 = ________________________________________

       [(4/3)×(22/7)×(2.1/2)×(2.1/2)×(2.1/2)]

= 8 টি ।

10. 4.2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধান : 

4.2 সেমি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন

= 4/3×π (4.2)3 ঘন সেমি.

ধরি , লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের দৈর্ঘ্য =  h সেমি.

অতএব , প্রদত্ত লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের আয়তন 

= π (2.8/2)2 × h ঘন সেমি.

= π (1.4)2× h ঘন সেমি.

শর্তানুযায়ী , 

π (1.4)2 × h =  4/3×π (4.2)3

                  4×4.2×4.2×4.2

বা, h = --------------------------------

                 3×1.4×1.4

বা, h = 50.4 সে.মি.

অতএব ,লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের দৈর্ঘ্য 50.4 সেমি. 

11. 6 ডেসিমি, দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য। হিসাব করে লিখি।

সমাধান : 

6 ডে.সি.মি. ব্যাসবিশিষ্ট নিরেট রৌপ্য গোলকের আয়তন

= 4/3×π (6/2)3 ঘন ডিসিমি.

= 4/3×π (3)3 ঘন ডিসিমি.

ধরি , লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের ব্যাসের দৈর্ঘ্য =  r ডিসিমি.

অতএব , প্রদত্ত লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের আয়তন 

= π (r)2 × 1 ঘন ডিসিমি. [ h = 1 ডিসিমি]

শর্তানুসারে, 

π (r)2 ×1 =  4/3×π (3)3

                  4×3×3×3

বা, r2 = -------------------- = 36

                     3×1

বা, r = 6 ডিসিমি.

ব্যাস = 2r = 2 × 6 ডিসিমি. = 12 ডিসিমি.

অতএব ,লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 ডিসিমি.

12. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি.। সেই দণ্ডটি গলিয়ে 21টি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যদি ৪ সেমি হয়, তবে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল তা হিসাব করে লিখি ।

সমাধান : 

নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের ব্যাসার্ধ = 3.2 ডিসিমি.

মনে করি , লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের দৈর্ঘ্য = h ডিসিমি.

:. দণ্ডটির আয়তন = π(3.2)2 × h  ঘনডেসিমি.

 দণ্ডটি গলিয়ে 21টি নিরেট গোলক তৈরি করা হল ।

1টি গোলকের ব্যাসার্ধ = ৪ সেমি = ০.৪ ডেসিমি.

 অতএব ,21টি গোলকের আয়তন = 21 ×(4/3)π ×(0.8)3 ঘনডেসিমি.

 প্রশ্নানুসারে, 

π(3.2)2 × h = 21 ×(4/3)π × (0.8)3

                        21×4×0.8×0.8×0.8

বা,     h = ---------------------------------------- = 1.4 ডিসিমি.

                            3×3.2×3.2

সুতরাং , দণ্ডটির দৈর্ঘ্য = 1.4 ডেসিমি. = 14 সেমি .

13. 21 ডেসিমি দীর্ঘ ,11 ডেসিমি প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। এখন সেই চৌবাচ্চা যদি 21 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 100টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে তবে জনবল কত ডেসিমি, উঠরে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধান : 

 মনে করি, জলতল h ডেসিমি. উপরে উঠবে ।

 চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য 21 ডেসিমি. এবং প্রস্থ 11 ডেসিমি. হলে বর্ধিত জলতলের আয়তন 

= (21 × 11 × h) ঘনডেসিমি 

আবার 1টি গোলকের ব্যাসার্ধ = 21/2 সেমি হলে, প্রতিটি গোলকের আয়তন = 

 (4/3)π×(21/2)3  ঘন সেমি

=  (4/3)π×(21/2)3  ×(1/1000) ঘন ডিসিমি.

অতএব , 100টি গোলকের আয়তন 

= 100× (4/3)π×(21/2)3  ×(1/1000)  ঘনডেসিমি.

প্রশ্নানুসারে , 

21 ×11 × h = (4/3)π×(21/2)3  ×(1/1000) 

                    100 ×4×22×21×21×21

বা, h = -----------------------------------------  ডে.সি.মি.

                      3 ×7×2×2×2×1000

বা , h = 2.1 ডে.সি.মি.

সুতরাং , জলতল 2.1ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।

14. সমান ভূমিতলের বিশিষ্ট এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু , একটি নিরেট অর্ধগোলক , এবং একটি নিরেট চোঙের  আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান : 

 মনে করি, নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধগোলক এবং নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ = r একক এবং উচ্চতা = h একক

যেহেতু, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = অর্ধগোলকের উচ্চতা ।

অতএব , r=h 

 তাহলে শঙ্কুর আয়তন =(1/3)πr2h ঘনএকক

 = (1/3)πr 3 ঘনএকক 

এবং ,চোঙের আয়তন = r2h ঘনএকক = πr3 ঘনএকক এবং অর্ধগোলকের আয়তন = (2/3)πr3 ঘনএকক

সুতরাং ,

শঙ্কুর আয়তন: অর্ধগোলকের আয়তন: চোঙের আয়তন

= (1/3)πr3  : πr3  : (1/3)πr3

= 1: 2 : 3 

15. 1 সেমি পুরু  সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি। গোলোকটি গলিয়ে 2 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির দৈর্ঘ্য হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান : 

ফাঁপা গোলকটির বহিঃ ব্যাসার্ধ = 6 সেমি. এবং 

অন্ত: ব্যাসার্ধ = ( 6-1) সেমি. = 5 সেমি.

                                          [যেহেতু 1 সেমি. পুরু]

সুতরাং , ফাঁপা গোলোকটির আয়তন 

= (4/3)π ×[6×6×6- 5×5×5]

= (4/3)π × 91 ঘন সেমি.  

গোলকটি গলিয়ে একটি  লম্ব বৃত্তাকার দন্ড তৈরী করা হলো ।

দন্ডটির ব্যাসার্ধ = 2 সে.মি. এবং উচ্চতা = h সে.মি. 

সুতরাং , দন্ডটির আয়তন = π ×2×2× h ঘন সেমি.

প্রশ্নানুসারে , 

 π ×2×2× h = (4/3)π × 91

                 4×91           

বা, h = --------------------- = 91/3 সেমি.

                 3×4

অতএব , দন্ডটির দৈর্ঘ্য = 91/3 সে.মি.    

             ............................................     (উত্তর)

16. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ডেসিমি । সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করা হয় তবে তাতে কত ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি। 

সমাধান : 

 কাঠের লগের উচ্চতা = 2 মিটার = 20 ডেসিমি এবং বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = 14ডেসিমি

অতএব , লগের আয়তন = (14 × 14 × 20) ঘনডেসিমি = 3920 ঘনডেসিমি

আবার লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির ব্যাস = 14 ডেসিমি এবং দৈর্ঘ্য = 20 ডেসিমি

অতএব , লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির আয়তন 

= π×(14/2)²  × 20 ঘনডেসিমি.

=π × 7 × 7 × 20 ঘনডেসিমি.

কাঠের গুঁড়িতে মোট কাঠের পরিমাণ = 3080 ঘনডেসিমি 

= 3.08 ঘনমিটার

এবং নষ্ট হওয়া কাঠের পরিমাণ = (3920- 3080) ঘনডেসিমি = 840 ঘনডেসিমি = 0.84 ঘনমিটার.

****** ****** ****** ***** **** ****** ***** ****