কিছু বিশেষ সংখ্যা দ্বারা ভাগের নিয়ম

   ভূমিকা : আমাদের অংক করার সময় প্রায়ই কোনো সংখ্যাকে ভাগ করার প্রয়োজন হয়। কখনো কখনো সেই সংখ্যাটা ( ভাজ্য) কি দিয়ে ভাগ যাবে সেটা বোঝে ওঠা মুশকিল হয়ে পরে। কিন্তু  কিছু বিশেষ সংখ্যা আছে যারা একটা নিয়ম মেনে ভাজক হিসেবে কাজ করে । সেটা আমাদের জানা থাকলে কোনো ভাজ্য সংখ্যা ঐ বিশেষ সংখ্যা দিয়ে ভাগ যাবে কি যাবে না সেটা খুব সহজে জানা যাবে । তারফলে অঙ্ক করার সময় হিসেব করতে সুবিধে হবে এবং অঙ্ক করতে সময়ও কম লাগবে। তাহলে জেনে নেওয়া যাক ঐ বিশেষ সংখ্যাগুলো দ্বারা ভাগ হবার নিয়ম ।

Divisibility of a number by 2

 ( 2 দ্বারা ভাগের নিয়ম)

কোনো একটি সংখ্যা (ভাজ্য) 2 দিয়ে ভাগ যাবে যদি ঐ সংখ্যাটির শেষ অংকটি জোড় সংখ্যা হয় । আর যদি ঐ সংখ্যার শেষ অঙ্কটি বিজোড় হয় তাহলে সেই সংখ্যাটি 2 দিয়ে ভাগ যাবে না।

A number is divisible by 2 if last digit of the number is even.and if last digit of that number is odd then that number is not divisible by 2.

যদি কোনো সংখ্যার শেষ অঙ্ক টি যদি জোড় অথবা শুন্য (0) হয় ,তাহলে ঐ নম্বরটি 2 দিয়ে ভাগ যাবে ,নাহলে সেই সংখ্যাটি 2 দিয়ে ভাগ যাবে না।

If last digit  of any number is even or 0,then it must be divided by 2,otherwise not.

Example:  মনেকরি একটি সংখ্যা 3876. এই সংখ্যাটি কি 2 দিয়ে ভাগ যাবে?

হ্যা যাবে কারণ 3876 এর শেষ সংখ্যাটি হলো 6 যা একটি জোড় সংখ্যা । সুতরাং 3876 সংখ্যাটি 2 দ্বারা ভাগ যাবে।

consider a number ,say, 3876 .Is it divided by 2 ?

Yes .because unit place of 3876 is 6 and 6 is an even number.so by the rule ,3876 must be divided by 2.

98364747381 সংখ্যাটি কি 2 দিয়ে ভাগ যাবে ?

 Is 983647473881 divided by 2 ????

Divisibility of a number by 3

( 3 দ্বারা ভাগের নিয়ম)

 একটি সংখ্যা 3 দিয়ে ভাগ যাবে যদি ঐ সংখ্যাটির সমস্ত অংকের যোগফল 3 দিয়ে ভাগ যায় ।

  A number is divided by 3 if sum of all digits of that number  is divided by 3.

Example:

ধরাযাক একটি সংখ্যা 573738।এই সংখ্যাটা কি 3 দিয়ে ভাগ যাবে?

সেটা জানার সহজ নিয়ম হলো , প্রথমে ঐ সংখ্যাটির সমস্ত অঙ্ক যোগ করতে হবে ,অর্থাৎ 5+7+3+7+3+8= 33।

এখন এই 33 যেহেতু 3 দিয়ে ভাগ যায় , সুতরাং 573738 সংখ্যাটিও 3 দিয়ে ভাগ যাবে।

এখন প্রশ্ন হচ্ছে 473498 সংখ্যাটি কি 3 দিয়ে ভাগ যাবে ??

Consider a number 573738 .is it divided by 3??

At first we do sum of digits of 573738.

5+7+3+7+3+8=33 .and as 33 is divided by 3.so,573758 must divided by 3.

Is 473498 divided by 3????

Divisibility of a number  by 4 

( 4 দ্বারা ভাগের নিয়ম)

কোনো একটি সংখ্যা 4 দিয়ে ভাগ যাবে যদি ঐ সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক যদি 4 দিয়ে ভাগ যায়।

মনে করি একটি সংখ্যা নেওয়া হলো 512। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে 512 এর শেষ দুই অঙ্ক হলো 12 যা 4 দিয়ে ভাজ্য । সুতরাং 512 সংখ্যাটিও 4 দিয়ে ভাগ যাবে।

আচ্ছা তাহলে 98637472246 সংখ্যাটি  কি 4 দিয়ে ভাগ যাবে ??

A number is divided by 4 if last two digit of that number is divided by 4.

Example:consider a number 512 .we can see that last two digit of 512 is 12 and as 12 is divided by 4 ,so,obviously 512 is divided by 4.

Is 4 divides 98637472246????

Divisibility of a number by 5

 ( 5 দ্বারা ভাগের নিয়ম )

একটি সংখ্যা 5 দিয়ে ভাগ যাবে যদি ঐ সংখ্যাটির শেষ অঙ্কটি 5 অথবা 0 থাকে। সুতরাং কোনো সংখ্যা 5 দিয়ে ভাগ যাবে কি যাবে না সেটা বোঝা বেশ সহজ কাজ ।

উদাহরণ : 65,80,345,2020,4754577754215,776654338897110 এই সমস্ত সংখ্যায় 5 দিয়ে ভাগ যাবে।

number is divided by 5 if that number's last digit is either 5 or 0.

So,it is very easy to observe that a number is divided by 5 or not.

Example: 65,80,345 ,2020,4754577754215,776554338897110 are all divided by 5.

Divisibility of a number by 6

 ( 6 দ্বারা ভাগের নিয়ম)

একটি সংখ্যা 6 দিয়ে ভাগ যাবে যদি

1. সংখ্যাটির শেষ অঙ্কটি যদি জোড় অথবা 0 হয়।

2. সংখ্যাটির সমস্ত অংকের যোগফল 3 দিয়ে ভাগ যায়।

উদাহরণ : মনে করা যাক 3458587482 একটি সংখ্যা নেওয়া হলো। এখন ঐ সংখ্যাটা কি 6 দিয়ে ভাগ যাবে??

দেখে নেওয়া যাক 

1. সংখ্যাটির শেষ অঙ্কটি হলো 2 যা একটি জোড় সংখ্যা ।

2.ঐ সংখ্যাটির অঙ্কগুলির যোগফল হলো 54 যা 3 দিয়ে বিভাজ্য ।

যেহেতু উপরের দুটি শর্তই পূর্ণ হয়েছে ,তাই উক্ত সংখ্যাটি অবশ্যই 6 দ্বারা বিভাজ্য। 

তাহলে 735366263634 সংখ্যাটি কি 6 দ্বারা বিভাজ্য ??

A number is divided by 6 if

1. Last digit of this number is even or 0.

2.sum of digits of number is divided by 3

Example: is 3458587482 ,that number divided by 6?

Let see...

1.last digit of that number is 2 ,that is even.

2.sum of all digit of that number is 54 which is divided by 3.

So the conditions are hold.

Therefore, 3458587482 is divided by 6.

Is 735366263634 divisible by 6????

Divisibility of a number by 7

 ( 7 দ্বারা ভাগের নিয়ম )

7 দিয়ে ভাগ করার নিয়মটি অপেক্ষাকৃত জটিল পূর্বের মেনে(2,3,4,5,6 দ্বারা ভাগের নিয়ম) গুলোর চেয়ে ।প্রথমেই বলি যে যেসমস্ত সংখ্যাগুলির অঙ্কসংখ্যা দুটি অথবা তিনটি সেইসমস্ত সংখ্যাগুলির জন্য 7 দিয়ে ভাগের কোনো নিয়ম নেই গতানুগতিক পদ্ধতি ছাড়া। কিন্তু যেসমস্ত সংখ্যার অঙ্ক সংখ্যা তিন বা তার অধিক সেক্ষেত্রে একটু ভালো নিয়ম আছে।সেই নিয়মটি নিম্নে বর্ণনা করা হলো।

ধরিলাম একটি সংখ্যা 847351. এখন প্রশ্ন হলো এই সংখ্যাটি কি 7 দ্বারা বিভাজ্য ??

নিয়ম : মনে করি ,

847351 = abcdef ( যেখানে a =8,b=4,c=7,d=3,e=5,f=1)

এখন নিয়ম টি হল--

যদি (def- abc) সংখ্যাটি 7 দিয়ে ভাগ যায় তাহলে প্রদত্ত সংখ্যাটিও 7 দিয়ে ভাগ যাবে। যেমন এখানে (def- abc) =(351 - 847)= -496 যা 7 দিয়ে বিভাজ্য নয়।সুতরাং 847351 সংখ্যাটি 7 দিয়ে বিভাজ্য নয়।

আরোও একটি উদাহরণ নেওয়া যাক: 573507945439 সংখ্যাটি কি  7 দ্বারা বিভাজ্য ????

মনে করি 573507945439 =abcdefghijkl 

যেখানে  a=5,b=7,c=3,d=5,e=0,f=7,g=9,h=4,i=5,j=4,k=3,l=9

এখন নিয়মটি হলো: 

যদি  (Jkl - ghi+ def - abc) সংখ্যাটি  7 দ্বারা ভাগ যায় ,তাহলে প্রদত্ত সংখ্যাটিও  7 দিয়ে ভাগ যাবে।

[ নিয়ম : প্রদত্ত সংখ্যাটির  শেষ তিনটে অঙ্ক প্রথমে  তারপর বিয়োগ   বামদিক থেকে পরবর্তী তিনটে অঙ্ক       যোগ      বামদিক থেকে পরবর্তী তিনটে অঙ্ক         বিয়োগ  ...... এই ভাবে চলতে থাকবে ...]

এখানে ,( jkl - ghi + def - abc) =( 439 - 945 + 507 - 573 ) = - 572  যা 7 দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং প্রদত্ত সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

9462573158000735673 সংখ্যাটি কি 7 দ্বারা বিভাজ্য???

This test is little bit complex compare to previous test (like 2,3,4,5,6).but practice makes you perfect. 

First of all  say that no easy process are available for the two or three number which is divisible  by 7  .but there are one trick available for numbers which are higher than three digits like 5573,97525,468338 ,93932096 etc. 

We first consider a number, say,847351

Is 847351 is divided by 7???

Rule:we consider ,

847351=abcdef (where a=8,b=4,c=7,d=3,e=5,f=1)

Now ,the technique is......

If (def - abc) is divided by 7  then the required number must be divided by 7.

Check: here ,(def - abc)=(351 - 847)= -496 which is not divided by 7.So, 847351 is not divided by 7

Take another example:  573507945439 divided by 7????

Take 573507945439 =abcdefghijkl 

Where , a=5,b=7,c=3,d=5,e=0,f=7,g=9,h=4,i=5,j=4,k=3,l=9

Now the rule is.......

If (Jkl - ghi+ def - abc) is divided by 7 ,then the required number is also divided by 7.

[ rule: taking required number's last three digits first then minus next from left three digits plus next from left minus ......]

Here ,( jkl - ghi + def - abc) =( 439 - 945 + 507 - 573 ) = - 572 which is not divided by 7. So the required number is not divided by 7.

Is 9462573158000735673 divided by 7 ????

Divisibility of a number by 8

 ( 8  দ্বারা ভাগের নিয়ম  )

A একটি সংখ্যা 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক যদি 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়।

উদাহরণ :  42857348112  সংখ্যাটি  8 দ্বারা বিভাজ্য কারণ উক্ত সংখ্যাটির শেষ তিনটি অঙ্ক হলো 112 যা  8 দ্বারা বিভাজ্য ।

8965433678544 সংখ্যাটি কি 8 দ্বারা বিভাজ্য ???

A number is divided by 8 if last three digits of this number is divided by 8.

Example:  42857348112 is divided by 8 because  last three digits 112 is divided by 8.

Is 8965433678544 divided by 8 ???

Divisibility of a number by 9

 ( 9 দ্বারা ভাগের নিয়ম)

    কোনো সংখ্যাকে 9 দিয়ে ভাগ করার নিয়মটি 3 দ্বারা ভাগ করার অনুরূপ।

 আমরা প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কের যোগফল নির্ণয় করি।  যদি সেই যোগফলকে 9 দ্বারা ভাগ করা যায়, তাহলে সংখ্যাটিকে 9 দ্বারা ভাগ করা যাবে ।

উদাহরণ:  ধরাযাক একটি সংখ্যা 43247886439।

 আমরা এখন প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কের যোগফল করি। অর্থাৎ...

 4+3+2+4+7+8+8+6+4+3+9 = 58 যা 9 দ্বারা ভাগ করা যায় না তাই প্রদত্ত সংখ্যাটি 9 দ্বারা ভাগ হয় না।

 দ্রষ্টব্য: 3 এবং 9 এর ক্ষেত্রে, যদি প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলির যোগফল দুই অঙ্ক বা তিন অঙ্ক  বা তারও বেশি অংকের হয় যেমন 58,147,3986 ইত্যাদি, তারপর আমরা ঐ প্রাপ্ত যোগফলের অঙ্কের যোগফল করি যতক্ষণ না আমরা এক বা দুই অঙ্কের মতো একটি সহজ সংখ্যা না পাই।

 উপরে আমরা পেয়েছি, প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কের যোগফল 58। আমরা আবার ছোট সংখ্যা (5+8) 13 পেতে পারি  58-এর অঙ্কের যোগফল । স্পষ্টতই 13 কে 9 দ্বারা ভাগ করা হয় না, তাই প্রদত্ত সংখ্যাটি দ্বারা ভাগ করা হয় না।  

Rule for a number is divided by 9 is similar to divided by 3.

We do sum of digits of the given number. If that sum is divided by 9 ,then the number must be divided by 9.

Example: let a number 43247886439 .

We now do sum of the given number's digit.that is ... 

4+3+2+4+7+8+8+6+4+3+9 = 58 which is not divided by 9.so the given number is not divided by 9

Note: case of 3 and 9,if the sum of the digits of the given number is two or three or higher digits like 58,147,3986 etc ,then we further do sum of digits of sum until we get a easy number like one or two digits.

Above  we get ,sum of the digits of given number is 58. We may again do sum of digits of 58 to get small number ( 5+8) 13 .clearly 13 is not divided by 9 ,so the given number is not divided by 9.

Divisibility of a number by 10 

( 10 দ্বারা ভাগের নিয়ম )

10 দিয়ে কোনো সংখ্যার ভাগ হওয়ার নিয়মটি খুবই সহজ।

আমরা কেবল প্রদত্ত সংখ্যার শেষ অঙ্কটি লক্ষ্য করবো।যদি শেষের অঙ্কটি 0 থাকে তাহলে ঐ প্রদত্ত সংখ্যাটি অবশ্যই 10 দিয়ে ভাগ যাবে ।

উদাহরণ:   ধরা যাক একটি সংখ্যা 3588415787430 যা 

পরিষ্কারভাবে বোঝা যাচ্ছে যে প্রদত্ত সংখ্যাটি 10 দিয়ে ভাগ যাবে।

This is very easy to observe that which number is divided by 10.

We have to observe only last digit of a number .If the last digit of a number is 0  then it must be divided by 10.

Example: consider a number  3588415787430.

Clearly above number must be divided by 10.

Divisibility of a number by 11

( 11 দ্বারা ভাগ করার নিয়ম )

এটি একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কৌশল এবং এটি প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্যও গুরুত্বপূর্ণ।

 নিয়মটি হল: আমরা একটি সংখ্যার প্রথম বিজোড় অবস্থানের পদ এবং জোড় অবস্থানের পদ্গুলি বিবেচনা করবো।

 এখন, সমস্ত বিজোড় অবস্থানের পদ যোগ করতে হবে এবং সমস্ত জোড় অবস্থানের পদ যোগ করতে হবে এবং এই মোট বিয়োগ করতে হবে । যদি এই ফলাফলটি 11 দ্বারা ভাগ করা যায়, তাহলে প্রদত্ত সংখ্যাটিকে 11 দ্বারা ভাগ করা যাবে।

 উদাহরণ: 6584225805267 সংখ্যাটি নেওয়া হলো।

 উপরের সংখ্যাটিকে 11 দ্বারা ভাগ করা না। কি না দেখাযাক।

 দেখাযাক  সব বিজোড় অবস্থানের পদগুলি নিন: 7,2,0,5,2,8,6।

 এবং তাদের যোগ করতে হবে: 7+2+0+5+2+8+6= 30

 সমস্ত জোড় অবস্থানের পদ নিতে হবে: 6,5,8,2,4,5

 এবং তাদের যোগ করতে হবে : 6+5+8+2+4+5 = 30

 তাদের বিয়োগ করতে হবে : 30-30= 0 যা 11 দ্বারা ভাগ করা যায়,তাই প্রদত্ত সংখ্যাটিকে 11 দ্বারা ভাগ করা হয়।

 তাহলে  54643 কে 11 দিয়ে ভাগ করা যাবে কি ???

This is a very important tactic and it is also important for competitive exam .

The rule is: we consider first odd position terms and even position terms of a number .

Now , add all odd position terms and add all even position terms and subtract these totals.If this result is divided by 11 ,then the given number must be divided by 11.

Example:  consider  6584225805267.

Is the above number is divided by 11.

Let's see : take all odd position terms: 7,2,0,5,2,8,6. 

And add them: 7+2+0+5+2+8+6= 30

Take all even position terms : 6,5,8,2,4,5

And add them : 6+5+8+2+4+5 = 30 

Subtract them :   30  - 30 = 0 which is divided by 11 .so the given number is divided by 11.

Check : is 54643 is divided by 11 ???